Ж.Серр
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ КЛАССОВ
Книга известного французского математика
Ж. Серра стала одной из классических книг по алгебраической геометрии. Она не
требует больших предварительных знаний и вводит читателя в круг современных
вопросов. С большим педагогическим мастерством в ней излагается ряд основных
понятий алгебраической геометрии (алгебраические кривые и поверхности, теорема
Римана — Роха, якобиевы многообразия кривых и т. д.).
Книга рассчитана на научных работников,
аспирантов и студентов старших курсов университетов и педагогических
институтов.
От редактора перевода. 5
Глава I. Сводка основных результатов
7
1. Обобщенные
якобиевы многообразия 7
2. Абелевы
накрытия 9
3. Другие
результаты 12
Библиографические замечания 13
Глава II. Алгебраические кривые 14
1.
Алгебраические кривые 14
2. Локальные
кольца 15
3. Дивизоры,
линейная эквивалентность, линейные системы 16
4. Теорема
Римана — Роха (первая форма) 19
5. Классы
распределений 21
6. Пространство,
двойственное к пространству классов распределений 22
7.
Дифференциалы. Вычеты 25
8. Теорема
двойственности 27
9. Теорема
Римана — Роха (окончательная форма) 29
10. Замечания к
теореме двойственности 30
11.
Доказательство инвариантности вычета 31
12.
Доказательство формулы вычетов 35
13.
Доказательство леммы 5 37
Библиографические замечания 39
Глава III. Отображения кривой в коммутативную группу 41
§ 1 Локальные символы 41
1. Определения
41
2. Основные
свойства локальных символов 45
3. Пример
локального символа: случай аддитивной группы 48
4. Пример
локального символа: случай мультипликативной группы 50
§ 2. Доказательство теоремы 1 54
5. Основная
редукция 54
6.
Доказательство в случае характеристики нуль 56
7.
Доказательство в случае характеристики р > 0. Сведение задачи к
двум случаям 58
8.
Доказательство теоремы в случае характеристики р > 0. Случай а) 59
9.
Доказательство в случае характеристики р > 0. Сведения случая б) к случаю
унипотентной группы 61
10. Окончание
доказательства. Случай, когда G — унипотентная
группа 63
§ 3. Вспомогательные результаты 65
11. Инвариантные
дифференциальные формы на алгебраической группе 65
12.
Фактормногообразие по конечной группе автоморфизмов 69
13. Некоторые
формулы для накрытий 74
14.
Симметрические произведения 76
15.
Симметрические произведения и накрытия 78
Библиографические замечания 81
Глава IV. Алгебраические кривые с особенностями 82
§ 1. Строение кривой с особенностями 82
1. Нормальная
модель алгебраического многообразия 82
2. Случай
алгебраической кривой 83
3. Построение
кривой с особенностями по ее нормальной модели 84
4. Особые
кривые, определяемые модулем 87
§ 2. Теорема Римана — Роха 88
5. Обозначения
88
6. Теорема
Римана — Роха (основная форма) 89
7. Приложение к
вычислению рода алгебраической кривой 91
8. Род кривой на
поверхности 92
§ 3. Дифференциалы на особой кривой 95
9. Регулярные
дифференциалы на X’ 95
10. Теорема
двойственности 98
11. Равенство пQ = 2dQ 100
12. Дополнения
102
Библиографические замечания 103
Глава V. Обобщенные якобиевы многообразия 104
§ 1. Построение обобщенных якобиевых
многообразий 104
1. Рациональные
дивизоры 104
2. Отношение
эквивалентности, определяемое модулем 106
3.
Предварительные леммы 108
4. Закон
композиции на симметрическом произведении Х(p) 110
5. Переход от
бирациональной группы к алгебраической 112
6. Построение
якобиева многообразия Jт 114
§ 2. Универсальный характер обобщенных
якобиевых многообразий 115
7. Гомоморфизм
группы дивизоров X в Jт 115
8. Каноническое
отображение X в Jт 117
9. Универсальное
свойство якобиевых многообразий Jт 121
10. Инвариантные
дифференциальные формы на Jт 123
§ 3. Строение якобиевых многообразий Jт 125
11. Обыкновенные
якобиевы многообразия 125
12. Соотношения
между якобиевыми многообразиями Jт 126
13. Соотношения
между Jт и J 127
14.
Алгебраическая структура на локальных группах U/U(n) 128
15. Структура
группы V(n) в случае нулевой
характеристики 130
16. Структура
группы V(n) в случае
положительной характеристики 131
17. Соотношения
между Jт и J определение алгебраической структуры группы Lт 133
18. Локальные
символы 136
19. Случай поля
комплексных чисел 137
§ 4. Построение обобщенных якобиевых
многообразий; случай произвольного основного поля 141
20. Спуск
основного поля 141
21. Главные
однородные пространства 145
22. Построение
якобиевых многообразий /т над совершенным полем 146
23. Случай
произвольного поля 149
Библиографические замечания 150
Глава VI. Поля классов 151
§ 1. Отображение х ® хq - х 151
1.
Алгебраические многообразия над конечным полем 151
2. Расширение и
спуск основного поля 152
3. Торы над
конечным полем 154
4. Отображение х
® х-1Fх 156
5. Квадратичные
формы над конечным полем 158
6. Изогения х
® хq - х коммутативный случай 159
§ 2. Накрытия и изогении 162
7. Определения,
относящиеся к накрытиям 162
8. Построение
накрытий как прообразов изогении 163
9. Частный
случай 165
10. Случай
неразветвленного накрытия 167
11. Случай
кривых 168
12. Случай
кривых; ведущий модуль 169
§ 3. Проективные системы, связанные с
многообразием 172
13. Максимальные
отображения 172
14. Некоторые
свойства максимальных отображений 176
15. Максимальные
отображения, определенные над полем k 178
§ 4. Поля классов 179
16. Формулировка
основной теоремы 179
17. Построение
расширений 182
18. Окончание
доказательства теоремы 1. Первый способ 185
19. Окончание
доказательства теоремы 1. Второй способ 187
20. Абсолютное
поле классов 189
21. Добавление:
след отображения 191
§ 5. Отображение взаимности 193
22. Автоморфизм
Фробениуса 193
23.
Геометрическая интерпретация автоморфизма Фробениуса 194
24. Определение
автоморфизма Фробениуса в расширении типа a 195
25. Отображение
взаимности. Формулировка результатов 197
26. Сведение
доказательств теорем 3, 3х, 3" к случаю кривых 199
27. Ядро
отображения взаимности 201
§ 6. Случай кривых 203
28. Сравнение
групп классов дивизоров с обобщенными якобиевыми многообразиями 203
29. Группа
классов иделей 206
30. Явные законы
взаимности 208
§ 7. Когомологии 210
31. Критерий
существования формаций классов 211
32. Некоторые
свойства класса когомологий 214
33.
Доказательство теоремы 5 216
34. Отображение
в группу классов циклов 218
Библиографические замечания 221
Глава VII. Расширения групп и когомологий 222
§ 1. Расширения групп 222
1. Группы Ехt (А, В) 222
2. Первая точная
последовательность для Ехt: 225
3. Другие точные
последовательности 227
4. Системы
факторов 228
5. Главное
расслоенное пространство, определяемое расширением 231
6. Случай
линейных групп 232
§ 2. Структура связных (коммутативных)
унипотентных групп 235
7. Группа Ехt (Gа, Gа) 235
8. Группы Витта
236
9. Леммы 237
10. Изогения с
произведением групп Витта 240
11. Структура
связных унипотентных групп. Некоторые частные случаи 243
12. Другие
результаты 244
13. Сравнение с
обобщенными якобиевыми многообразиями 245
§ 3. Расширения абелевых многообразий
247
14. Классы
примитивных когомологий 247
15. Сравнение
Ехt (А, В) с Н(А,BA) 249
16. Случай В
= Gт 251
17. Случай В
= Gа 252
18. Случай,
когда В — унимпотентная группа 255
§ 4. Когомологии абелевых многообразий
257
19. Когомологии
якобиевых многообразий 257
20. Нерегулярная
часть отображений jm 260
21. Когомологии
абелевых многообразий 261
22. Отсутствие
гомологии с кручением на абелевых многообразиях 264
23. Приложение к
функтору Ехt (А, В) 267
Библиографические замечания 269
Литература 271
Указатель 278