С.ЛЕНГ
АЛГЕБРА
Автор книги, видный американский математик, профессор
Колумбийского университета С. Ленг, хорошо знаком советскому читателю по двум
вышедшим ранее монографиям "Алгебраические числа" и "Введение в
теорию дифференцируемых многообразий" (издательство "Мир", 1966
и 1967). В книге рассмотрены все основные разделы современной алгебры (группы,
кольца, модули, теория полей, линейная и полилинейная алгебра, представления
групп). Читатель найдет здесь также первоначальные сведения по гомологической
алгебре и алгебраической геометрии.
Книга отражает изменения, происшедшие в алгебре за последние два
десятилетия, и дает читателю возможность основательно познакомиться с областями
алгебры, ставшими уже классическими. Язык категорий и функторов связывает воедино
разрозненные ранее понятия и результаты.
Книга будет весьма полезной математикам различных специальностей,
студентам, аспирантам и научным работникам. Она может служить основой
специальных курсов по алгебре.
От редактора перевода 5
Предисловие 7
Предварительные сведения 11
Литература 14
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ГРУППЫ, КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Глава I.
Группы
§ 1. Моноиды 17
§ 2. Группы 21
§ 3. Циклические группы 25
§ 4. Нормальные подгруппы 27
§ 5. Действие группы на множестве 32
§ 6. Силовские подгруппы 36
§ 7. Категории и функторы 39
§ 8. Свободные группы 47
§ 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы 55
§ 10. Конечно-порожденные абелевы группы 61
§11. Дуальная группа 66
Упражнения 69
Глава П. Кольца
§ 1. Кольца и гомоморфизмы 73
§ 2. Коммутативные кольца 80
§ 3. Локализация 85
§ 4. Кольца главных идеалов 89
Упражнения 92
Глава Ш. Модули
§ 1. Основные определения 93
§ 2. Группа гомоморфизмов 95
§ 3. Прямые произведения и суммы
модулей 98
§ 4. Свободные модули 103
§ 5. Векторные пространства 105
§ 6. Дуальное пространство 108
Упражнения 111
Глава IV. Гомологии
§1. Комплексы 114
§ 2. Гомологическая последовательность
116
§ 3. Эйлерова характеристика 118
§ 4. Теорема Жордана — Гёльдера 122
Упражнения 126
Глава V. Многочлены
§ 1. Свободные алгебры 127
§ 2. Определение многочленов 131
§ 3. Элементарные свойства многочленов
136
§ 4. Алгоритм Евклида 141
§ 5. Простейшие дроби 145
§ 6. Однозначность разложения на простые
множители многочленов от нескольких переменных 148
§ 7. Критерии неприводимости 151
§ 8. Производная и кратные корни 153
§ 9. Симметрические многочлены 155
§ 10. Результант 158
Упражнения 162
Глава VI. Нётеровы кольца и модули
§ 1. Основные критерии 166
§ 2. Теорема Гильберта 169
§ 3. Степенные ряды 170
§ 4. Ассоциированные простые идеалы 172
§ 5. Примарное разложение 177
Упражнения 181
ЧАСТЬ ВТОРАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
Глава VII. Алгебраические расширения
§ 1. Конечные и алгебраические
расширения 185
§ 2. Алгебраическое замыкание 191
§ 3. Поля разложения и нормальные
расширения 198
§ 4. Сепарабельные расширения 202
§ 5. Конечные поля 208
§ 6. Примитивные элементы 211
§ 7. Чисто несепарабельные расширения
213
Упражнения. 217
Глава VIII. Теория Галуа
§ 1. Расширения Галуа 219
§ 2. Примеры и приложения 227
§ 3. Корни из единицы 232
§ 4. Линейная независимость характеров
237
§ 5. Норма и след 239
§ 6. Циклические расширения 243
§ 7. Разрешимые и радикальные расширения
246
§ 8. Теория Куммера 248
§9. Уравнение Хn-а=0 252
§ 10. Когомологии Галуа 255
§11. Алгебраическая независимость
гомоморфизмов 256
§ 12. Теорема о нормальном базисе 260
Упражнения 260
Глава IX. Расширения колец
§ 1. Целые расширения колец 268
§ 2. Целые расширения Галуа 275
§ 3. Продолжение гомоморфизмов 282
Упражнения 284
Глава X. Трансцендентные расширения
§ 1. Базисы трансцендентности 286
§ 2. Теорема Гильберта о нулях 288
§ 3. Алгебраические множества 290
§ 4. Теорема Нётера о нормализации 294
§ 5. Линейно свободные расширения 295
§ 6. Сепарабельные расширения 298
§ 7. Дифференцирования 301
Упражнения 305
Глава XI. Вещественные поля
§ 1. Упорядоченные поля 307
§ 2. Вещественные поля 309
§ 3. Вещественные нули и гомоморфизмы
316
Упражнения 321
Глава XII. Абсолютные значения
§ 1. Определения, зависимость и
независимость 322
§ 2. Пополнения 325
§ 3. Конечные расширения 332
§ 4. Нормирования 336
§ 5. Пополнения и нормирования 345
§ 6. Дискретные нормирования 346
§ 7. Нули многочленов в полных полях 350
Упражнения 353
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Глава ХШ. Матрицы и линейные отображения
§ 1. Матрицы 361
§ 2. Ранг матрицы 363
§ 3. Матрицы и линейные отображения 364
§ 4. Определители 368
§ 5. Двойственность 378
§ 6. Матрицы и билинейные формы 383
§ 7. Полуторалинейная двойственность 388
Упражнения 393
Глава XIV. Структура билинейных форм
§ 1. Предварительные сведения,
ортогональные суммы 396
§ 2. Квадратичные отображения 399
§ 3. Симметрические формы, ортогональные
базисы 400
§ 4. Гиперболические пространства 402
§5. Теорема Витта 403
§ 6. Группа Витта 403
§ 7. Симметрические формы над
упорядоченными полями. 408
§ 8. Алгебра Клиффорда 411
§ 9. Знакопеременные формы 415
§ 10. Пфаффиан 417
§ 11. Эрмитовы формы 419
§ 12. Спектральная теорема (эрмитов
случай) 421
§ 13. Спектральная теорема
(симметрический случай) 423
Упражнения 425
Глава XV. Представление одного эндоморфизма
§ 1. Представления 429
§ 2. Модули над кольцами главных идеалов
432
§ 3. Разложение над одним эндоморфизмом
442
§ 4. Характеристический многочлен 446
Упражнения 452
Глава XVI. Полилинейные произведения
§ 1. Тензорное произведение 456
§ 2. Основные свойства 461
§ 3. Расширение основного кольца 466
§ 4. Тензорное произведение алгебр 468
§ 5. Тензорная алгебра модуля 470
§ 6. Знакопеременные произведения 473
§ 7. Симметрические произведения 477
§ 8. Кольцо Эйлера — Гротендика 478
§ 9. Некоторые функториальные
изоморфизмы 481
Упражнения 486
Глава XVII. Полупростота
§ 1. Матрицы и линейные отображения над
некоммутативными кольцами 488
§ 2. Условия, определяющие полупростоту
491
§ 3. Теорема плотности 493
§ 4. Полупростые кольца 496
§ 5. Простые кольца 498
§ 6. Сбалансированные модули 501
Упражнения 502
Глава ХУШ. Представления конечных групп
§ 1. Полупростота групповой алгебры 504
§ 2. Характеры 506
§ 3. Одномерные представления 511
§ 4. Пространство функций классов 512
§ 5. Соотношения ортогональности 516
§ 6. Индуцированные характеры 520
§ 7. Индуцированные представления 523
§ 8. Положительное разложение
регулярного характера 528
§ 9. Сверхразрешимые группы 530
§ 10. Теорема Брауэра 533
§11. Поле определения представления 539
Упражнения 541
Добавление. Трансцендентность е и
p 546
Указатель 553