А.Барут, Р.Рончка
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И ЕЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ, т.1
Авторами монографии являются известные американский и польский
ученые, специалисты по теоретико-групповым методам в физике. В книге изложены
современные эффективные методы и результаты теории представлений групп и алгебр
Ли, отражен широкий спектр их физических приложений. Авторами достигнуто
удачное сочетание математической строгости изложения, полноты охвата материала
с ясностью и доступностью языка; все главы сопровождаются тщательно подобранными
упражнениями.
В русском переводе книга выходит в двух томах. В первом томе
(главы 1—11) дана общая теория групп и алгебр Ли, явно строятся их
конечномерные представления, излагается теория представлений алгебр Ли
неограниченными операторами, теория интегрируемости представлений алгебр Ли.
Книга будет полезна научным работникам, аспирантам и студентам
старших курсов физических и математических специальностей, интересующимся
теорией представлений групп и алгебр, а также их приложениями.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 7
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ 8
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ
10
ОБОЗНАЧЕНИЯ 14
Глава 1. АЛГЕБРЫ ЛИ 15
§ 1. Основные понятия и общие свойства 15
§ 2. Разрешимые, нильпотентные, полупростые и простые алгебры
Ли 25
§ 3. Структура алгебр Ли
33
§ 4. Классификация простых комплексных алгебр Ли 36
§ 5. Классификация простых вещественных алгебр Ли 46
§ 6. Разложения Гаусса, Картана и Ивасавы 55
§ 7. Приложение. Об объединении алгебры Пуанкаре и алгебр
внутренней симметрии 62
§ 8. Контракция алгебр Ли 64
§ 9. Комментарии и дополнения 66
§ 10. Упражнения 68
Глава 2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 72
§ 1. Топологические пространства 72
§ 2. Топологические группы 82
§ З. МераХаара 90
§ 4. Комментарии и дополнения 94
§ 5. Упражнения 95
Глава 3. ГРУППЫ ЛИ 99
§ 1. Дифференцируемые многообразия 99
§ 2. Группы Ли 106
§ 3. Алгебры Ли групп Ли 111
§ 4. Прямое и полупрямое произведения 122
§ 5. Разложение Леви — Мальцева 125
§ 6. Разложения Гаусса, Картана, Ивасавы и Брюа 128
§ 7. Классификация простых групп Ли 134
§ 8. Структура компактных групп Ли 137
§ 9. Инвариантная метрика и инвариантная мера на группах Ли 139
§ 10. Комментарии и дополнения 140
§ 11. Упражнения 144
Глава 4. ОДНОРОДНЫЕ И СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 154
§ 1. Однородные пространства 154
§ 2. Симметрические пространства 155
§ 3. Инвариантные и квазиинвариантные меры на однородных
пространствах 161
§ 4. Комментарии и дополнения 164
§ 5. Упражнения 165
Глава 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 167
§ 1 Основные понятия 167
§ 2. Эквивалентность представлений 173
§ 3. Неприводимость и приводимость 175
§ 4. Циклические представления 181
§ 5. Тензорное произведение представлений 183
§ 6. Разложение унитарных представлений в прямой интеграл 186
§ 7. Комментарии и дополнения 193
§ 8. Упражнения 196
Глава 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 197
§ 1. Неприводимые представления и характеры 197
§ 2. Теоремы Стоуна и ШАГ 199
§ 3. Комментарии и дополнения 202
§ 4. Упражнения 204
Глава 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП 205
§ 1. Основные свойства представлений компактных групп 205
§ 2. Аппроксимационные теоремы Петера— Вейля и Вейля 212
§ 3. Проективные операторы и неприводимые представления 218
§ 4. Приложения 221
§ 5. Представления конечных групп 228
§ 6. Комментарии и дополнения 239
§ 7. Упражнения 241
Глава 8. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ЛИ 244
§ 1 Общие свойства представлений разрешимых и полупростых групп Ли
244
§ 2. Индуцированные представления групп Ли 250
§ 3. Представления групп GL(n, С), GL(n, R), U(p, q), U(n), SL(n, С), SL(n, R), SU(p,q)HSU(n) 261
§ 4. Представления симплектических групп Sp (n, С), Sp (n, R) и Sp (n) 266
§ 5. Представления ортогональных групп SO (n, С), SO (p, q), SO* (n) и 268
SO(n)
§ 6. Фундаментальные представления 272
§ 7. Представления произвольных групп Ли 274
§ 8. Другие результаты и комментарии 277
§ 9. Упражнения 289
Глава 9. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ОБЕРТЫВАЮЩИЕ АЛГЕБРЫ И ОБЕРТЫВАЮЩИЕ ПОЛЯ 293
§ 1. Тензорные операторы 293
§ 2. Обертывающая алгебра 301
§ 3. Инвариантные операторы 303
§ 4. Операторы Казимира для классических групп Ли 307
§ 5. Обертывающие поля 321
§ 6. Дальнейшие результаты и комментарии 329
§ 7. Упражнения 331
Глава 10. ТОЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНОМЕРНЫХ
333
§ 1. Метод Гельфанда — Цетлина 333
§ 2. Тензорный метод 349
§ 3. Метод гармонических функций 362
§ 4. Метод операторов рождения и уничтожения 371
§ 5. Комментарии и дополнения 374
§ 6. Упражнения 376
Глава 11. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АЛГЕБР ЛИ И ОБЕРТЫВАЮЩИХ АЛГЕБР НЕОГРАНИЧЕННЫМИ
ОПЕРАТОРАМИ: АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ И
ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
380
§ 1. Представления алгебр Ли неограниченными операторами 381
§ 2. Представления обертывающих алгебр неограниченными операторами
387
§ 3. Аналитические векторы и аналитическая доминантность 397
§ 4. Аналитические векторы для унитарных представлений групп Ли
412
§ 5. Интегрируемость представлений алгебр Ли 417
§ 6. ФС3-теория интегрируемости представлений алгебр Ли
422
§ 7. «Уравнение теплопроводности» на группе Ли и аналитические
векторы 429
§ 8. Алгебраическое построение неприводимых представлений 438
§ 9. Комментарии и дополнения 446
§ 10. Упражнения 447