О. Зарисский, П. Самюэль
КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА. Т. 1
За последние десятилетия под влиянием ряда разделов современной
математики, таких, как алгебраическая геометрия и другие, интенсивно
развивалась теория коммутативных колец и полей. Данным разделом алгебры и
посвящена эта обстоятельная монография. Изложение открывается основными
понятиями современной алгебры (группы, кольца и поля), начиная от самых
первоначальных сведений до основной теоремы теории Галуа.
Остальная часть первого тома монографии посвящена общей теории
коммутативных колец и охватывает наряду с классическими результатами многие
факты, найденные и самые последние годы и освещавшиеся до сих пор лишь в
журнальных статьях.
Во втором томе подробно исследуются кольца специальных типов:
кольца нормировании, кольца полиномов и степенных рядов и локальные кольца.
Книга может служить учебным пособием и основой для специальных
курсов по важным разделам современной алгебры и предполагает очень малую
предварительную подготовку.
Содержание
От редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава I. Вводные понятия 11
§ 1. Бинарные операции 11
§ 2. Группы 13
§ 3. Подгруппы 15
§ 4. Абелевы группы 17
§ 5. Кольца 18
§ 6. Кольца с единицей 19
§ 7. Степени и кратные 20
§ 8. Поля 21
§ 9. Под кольца и под поля 21
§ 10. Преобразования и отображения 23
§ 11. Гомоморфизмы
групп 25
§ 12. Гомоморфизмы колец 28
§ 13. Отождествление колец 31
§ 14. Области с однозначным разложением на множители 33
§ 15. Евклидовы области 35
§ 16. Полиномы от одной неизвестной 37
§ 17. Кольца полиномов 40
§ 18. Полиномы от нескольких неизвестных 47
§ 19. Поля частных и полные кольца частных 56
§ 20. Кольца частных относительно мультипликативных систем 61
§ 21. Векторные пространства 64
Глава II. Элементы теории полей 71
§ 1. Расширения полей 71
§ 2. Алгебраические величины 71
§ 3. Алгебраические расширения 76
§ 4. Характеристика поля 78
§ 5. Сепарабельные и несепарабельные алгебраические расширения 81
§ 6. Поля разложения и нормальные расширения 89
§ 7. Основная теорема теории Галуа 99
§ 8. Поля Галуа 101
§ 9. Теорема о примитивном элементе 103
§ 10. Характеристические полиномы поля. Нормы и следы 105
§ 11. Дискриминант 112
§ 12. Трансцендентные расширения 115
§ 13. Сепарабельно порождаемые поля алгебраических функций 122
§ 14. Алгебраически замкнутые поля 127
§ 15. Линейная свобода и сепарабельность 130
§ 16. Порядок несепарабельности поля алгебраических функций 135
§ 17. Дифференцирования 142
Глава III. Идеалы и модули 156
§ 1. Идеалы и модули 156
§ 2. Операции над подмодулями 160
§ 3. Операторные гомоморфизмы и фактормодули 162
§ 4. Теоремы об изоморфизме 165
§ 5. Гомоморфизмы кольца и факторкольца 166
§ 6. Порядок подмножества модуля 169
§ 7. Операции над идеалами 171
§ 8. Простые и максимальные идеалы 174
§ 9. Примерные идеалы 178
§ 10. Условия конечности 181
§ 11. Композиционные ряды 185
§ 12. Прямые суммы 191
§ 12'. Бесконечные прямые суммы 200
§ 13. Комаксимальные идеалы и прямые суммы идеалов 203
§ 14. Тензорные произведения колец 208
§ 15. Свободные композиты областей целостности (или полей) 217
Глава IV. Нстсровы кольца 229
§ 1. Определения. Теорема Гильберта о базисе 229
§ 2. Кольца с условием обрыва убывающих цепей 233
§ 3. Примарные кольца 235
§ 3'. Другой метод изучения колец с у. о. у. ц. 237
§ 4. Теорема Ласкера — Нётер о разложении 239
§ 5. Теоремы единственности 241
§ 6. Приложение: делители нуля и нильпотентные элементы 246
§ 7. Приложение: пересечение степеней идеала 248
§ 8. Расширенные и сокращенные идеалы 251
§ 9. Кольца частных 254
§ 10. Связь между идеалами кольца R и идеалами из RM 256
§11. Примеры и приложения колец частных 262
§ 12. Символические степени 266
§ 13. Длина идеала 268
§ 14. Простые идеалы в нётеровых кольцах 273
§ 15. Кольца главных идеалов 279
§ 16. Неприводимые идеалы 284
Добавление. Примарные представления в нётеровых модулях 289
Глава V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов 292
§ 1. Целые элементы 292
§ 2. Целозависимые кольца 295
§ 3. Целозамкнутые кольца 298
§ 4. Теоремы конечности 303
§ 5. Кондуктор целого замыкания 308
§ 6. Характеристики дедекиндовых областей 309
§ 7. Дальнейшие свойства дедекиндовых областей 318
§ 8. Расширение дедекиндовых областей 322
§ 9. Разложение простых идеалов в расширениях дедекиндовых
областей 324
§ 10. Группа разложения, группа инерции и группа ветвления 331
§ 11. Дифферента и дискриминант 339
§ 12. Приложения к квадратичным полям и полям деления круга 354
§ 13. Теорема Куммера 360
Указатель обозначений 364
Предметный указатель 366