Б. Л. Ван дер Варден

АЛГЕБРА

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Предисловие редактора 9

Из предисловий автора 10

Схема зависимости глав 14

Введение 15

 

Глава первая ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА

§ 1. Множества 17

§ 2. Отображения. Мощности 19

§ 3. Натуральный ряд 20

§ 4. Конечные и счетные множества 24

§ 5. Разбиение на классы 26

 

Глава вторая ГРУППЫ

§ 6. Понятие группы 28

§ 7. Подгруппы 35

§ 8. Операции над комплексами. Смежные классы 39

§ 9. Изоморфизмы и автоморфизмы 42

§ 10. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы 45

 

Глава третья КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ

§11. Кольца 49

§ 12. Гомоморфизмы и изоморфизмы 56

§ 13. Построение частных 57

§ 14. Кольца многочленов 60

§ 15. Идеалы. Кольца классов вычетов 64

§ 16. Делимость. Простые идеалы 69

§ 17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов 71

§ 18. Разложение на множители 75

 

Глава четвертая ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 19. Векторные пространства 80

§ 20. Инвариантность размерности 83

§ 21. Двойственное векторное пространство 86

§ 22. Линейные уравнения над телом 88

§ 23. Линейные преобразования 90

§ 24. Тензоры 95

§ 25. Антисимметрические полилинейные формы и определители 97

§ 26. Тензорное произведение, свертка и след 102

 

Глава пятая ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 27. Дифференцирование 105

§ 28. Корни 106

§ 29. Интерполяционные формулы 108

§ 30. Разложение на множители 113

§31. Признаки неразложимости 117

§ 32. Разложение на множители в конечное число шагов 119

§ 33. Симметрические функции 121

§ 34. Результант двух многочленов 124

§ 35. Результант как симметрическая функция корней 128

§ 36. Разложение рациональных функций на простейшие дроби 131

 

Глава шестая ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ

§ 37. Подтело. Простое тело 134

§ 38. Присоединение 136

§39. Простые расширения 138

§ 40. Конечные расширения тел 143

§ 41. Алгебраические расширения 145

§ 42. Корни из единицы 150

§ 43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела) 155

§ 44. Сепарабельные и несепарабельные расширения 159

§ 45. Совершенные и несовершенные поля 164

§ 46. Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном элементе 165

§ 47. Нормы и следы 167

 

Глава седьмая ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП

§ 48. Группы с операторами 171

§ 49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы 173

§ 51    ?????????????                    174

§ 51. Нормальные и композиционные ряды 176

§ 52. Группы порядка р" 180

§ 53. Прямые произведения 181

§ 54. Групповые характеры 184

§ 55. Простота знакопеременной группы 189

§ 56. Транзитивность и примитивность 191

 

Глава восьмая ТЕОРИЯ ГАЛУА

§ 57. Группа Галуа 194

§ 58. Основная теорема теории Галуа 197

§ 59. Сопряженные группы, поля и элементы поля 200

§ 60. Поля деления круга 202

§ 61. Циклические поля и двучленные уравнения 209

§ 62. Решение уравнений в радикалах 211

§ 63. Общее уравнение n-й степени 215

§ 64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней 218

§ 65. Построения с помощью циркуля и линейки 224

§ 66. Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой 229

§ 67 Нормальные базисы 232

 

Глава девятая УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

§ 68. Упорядоченные множества 237

§ 69. Аксиома выбора и лемма Цорна  238

§ 70. Теорема Цермело  241

§ 71. Трансфинитная индукция  242

 

Глава десятая БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ

§ 72. Алгебраически замкнутые поля 244

§ 73. Простые трансцендентные расширения 250

§ 74. Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость 254

§ 75. Степень трансцендентности 257

§ 76. Дифференцирование алгебраических функций 259

 

Глава одиннадцатая ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ

§ 77. Упорядоченные поля 266

§ 78. Определение вещественных чисел 269

§ 79. Корни вещественных функций 278

§ 80. Поле комплексных чисел 282

§ 81. Алгебраическая теория вещественных полей 285

§ 82. Теоремы существования для формально вещественных полей , 290

§ 83 Суммы квадратов 294

 

Глава двенадцатая ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§ 84. Модули над произвольным кольцом 297

§ 85. Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители 299

§ 86. Основная теорема об абелевых группах 303

§ 87. Представления и модули представлений 307

§ 88. Нормальные формы матрицы над полем 311

§ 89. Элементарные делители и характеристическая функция 314

§ 90. Квадратичные и эрмитовы формы 317

§ 91. Антисимметрические билинейные формы 326

 

Глава тринадцатая АЛГЕБРЫ

§ 92. Прямые суммы и пересечения 331

§ 93. Примеры алгебр 334

§ 94. Произведения и скрещенные произведения 340

§ 95. Алгебры как группы с операторами. Модули и представления 347

§ 96. Малый и большой радикалы 351

§ 97. Звездное произведение 355

§ 98. Кольца с условием минимальности 357

§ 99. Двусторонние разложения и разложение центра 362

§ 100. Простые и примитивные кольца 365

§ 101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы 368

§ 102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах 371

§ 103. Поведение алгебр при расширении основного поля 372

 

Глава четырнадцатая ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР

§ 104. Постановка задачи 378

§ 105. Представления алгебр 379

§ 106. Представления центра 384

§ 107. Следы и характеры 386

§ 108. Представления конечных групп 388

§ 109. Групповые характеры 392

§ 110. Представления симметрических групп 398

§111. Полугруппы линейных преобразований 401

§ 112. Двойные модули и произведения алгебр 404

§ 113. Поля разложения простых алгебр 410

§ 114. Группа Брауэра. Системы факторов 413

 

Глава пятнадцатая ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ

§ 115. Нётеровы кольца 421

§ 116. Произведения и частные идеалов 425

§ 117. Простые идеалы и примарные идеалы 429

§ Ни. Общая теорема о разложении 434

§ 119. Теорема единственности 438

§ 120. Изолированные компоненты и символические степени 441

§ 121. Теория взаимно простых идеалов 444

§ 122. Однократные идеалы 447

§ 123. Кольца частных 450

§ 124. Пересечение всех степеней идеала 452

§ 125. Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нётеровых кольцах 455

 

Глава шестнадцатая ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ

§ 126. Алгебраические многообразия 459

§ 127. Универсальное поле 462

§ 128. Корни простого идеала 463

§ 129. Размерность 466

§ 130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для однородных уравнений 468

§ 131. Примарные идеалы 471

§ 132. Основная теорема Нётера 474

§ 133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным 478

 

Глава семнадцатая ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

§ 134. Конечные R-модули 482

§ 135. Элементы, целые над кольцом 484

§ 136. Целые элементы в поле 487

§ 137. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов 493

§ 138. Обращение и дополнение полученных результатов 496

§ 139. Дробные идеалы 499

§ 140. Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах 501

 

Глава восемнадцатая НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ

§ 141. Нормирования 509

§ 142. Пополнения 515

§ 143. Нормирования поля рациональных чисел 521

§ 144. Нормирование алгебраических расширений: случай полного поля 524

§ 145. Нормирование алгебраических расширений: общий случай , 531

§ 146. Нормирования полей алгебраических чисел 633

§ 147. Нормирования поля рациональных функций D(х) 539

§ 148. Аппроксимационная теорема 542

 

Глава девятнадцатая АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 149. Разложения в ряды по степеням униформизирующих 545

§ 150. Дивизоры и их кратные 550

§ 151. Род g 554

§ 152. Векторы и ковекторы 557

§ 153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности 560

§ 154. Теорема Римана—Роха 564

§ 155. Сепарабельная порождаемость функциональных полей 568

§ 156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае 569

§ 157. Доказательство теоремы о вычетах 574

 

Глава двадцатая ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

§ 158. Понятие топологического пространства 580

§ 159. Базисы окрестностей 581

§ 160. Непрерывность. Пределы 583

§ 161. Аксиомы отделимости и счетности 584

§ 162. Топологические группы 585

§ 163. Окрестности единицы 586

§ 164. Подгруппы и факторгруппы 588

§ 165. Т-кольца и Т-тела 589

§ 166. Пополнение групп с помощью фундаментальных последовательностей 591

§ 167. Фильтры 595

§ 168. Пополнение группы с помощью фильтров Коши 598

§ 169. Топологические векторные пространства 602

§ 170. Пополнение колец 604

§ 171. Пополнение тел 606

 

Предметный указатель 608