СЕМИНАР "СОФУС ЛИ"

ТЕОРИЯ АЛГЕБР ЛИ. ТОПОЛОГИЯ ГРУПП ЛИ

Настоящий перевод трудов семинара "Софус Ли" содержит систематическое и полное изложение теории алгебр Ли и некоторых вопросов топологии групп Ли. Целый ряд содержащихся здесь фактов можно найти лишь в разрозненных журнальных статьях.

В процессе изложения авторы используют методы и результаты различных разделов современной математики, в частности гомологической алгебры и алгебраической геометрии. Книга будет с интересом прочитана студентами старших курсов математических факультетов, аспирантами и научными работниками, интересующимися теорией алгебр и групп Ли и смежными вопросами.

Содержание

От издательства 5

Предисловие 7

Глава 1. Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта. (П. Картье) 9

1. Предварительные понятия 9

2. Универсальная обертывающая алгебра 12

3. Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта 15

4. Доказательства лемм 19

Глава 2. Нилытотентные и разрешимые алгебры Ли. (А. Бланшар) 23

1. Нильпотентные представления. Нильпотентные алгебры Ли 23

2. Разрешимые алгебры Ли 27

3. Приложение. Глобальное доказательство теоремы 2 30

Глава 3. Когомологии алгебр Ли. (П. Картье) 32

1. Предварительные сведения о комплексах 32

2. Построение основного комплекса 34

3. Свойства основного комплекса 38

4. Определение когомологий алгебр Ли 40

5. Действия над линейными представлениями. Оператор Казимира 42

6. Тривиальность некоторых групп когомологий 47

7. Интерпретация группы Н⁰ ((Е,М) 49

8. Интерпретация группы Н¹((Е,М) 50

9. Интерпретация группы Н²((Е,М) 55

10. Теорема Леви — Мальцева 60

11. Добавление 63 Глава 4. Теория реплик. Критерий Картана. (М. Лазар) 68

1. Некоторые результаты из теории матриц 68

2. Теория реплик 72

3. Критерий нильпотентности 74

4. Алгебраические алгебры Ли 75

5. Полупростые алгебры Ли. Критерий Картана 78

Глава 5. Полупростые алгебры Ли. (П. Картье) 81

1. Предварительные сведения 81

2. Когомояогии полу простых алгебр Ли 82

3. Редуктивные алгебры 86

4. Теорема Гильберта об инвариантах 91

Глава 6. Радикалы алгебры Ли. (П. Картье) 95

1. Радикал ассоциативной алгебры 95

2. Определение радикалов алгебры Ли 96

3. Простейшие свойства радикалов алгебры Ли 99

4. Критерий Картана для разрешимых алгебр Ли 102

Глава 7. Теоремы Адо и Ивасавы. (П. Картье) 104

1. Введение 104

2. Вспомогательная теорема 105

3. Доказательство теорем 1 и 2. 109

4. Приложение 110

Глава 8. Веса и корни. Структура полупростых алгебр Ли. (Ф. Брюа) 112

1. Представления нильпотентных алгебр Ли 112

2. Подалгебры Картана 114

3. Структура полупростых алгебр Ли 118

4. Серии корней 122

5. Системы простых корней 126

6. БазаВейля 132

Глава 9. Вещественные формы полупростых алгебр Ли. (Ф. Брюа) 139

Приложение 148

Глава 10. Классификация простых алгебр Ли. (М. Берже, П. Картье) 152

1. Вступление 152

2. Отыскание связных допустимых систем 153

3. Построение связных допустимых систем 159

Глава 11. Построение простых алгебр Ли. (М. Берже) 163

1. Алгебры типа А_п 163

2. Алгебры типа С_п 165

3. Алгебры типов В_п и D_п 167

4. Алгебры типа G₂ 168

5. Добавление 170

Глава 12. Теорема о сопряженности подалгебр Картана. (П. Картье) 172

1. Некоторые сведения из алгебраической геометрии 172

2. Применение к алгебрам Ли 176

Глава 13. Автоморфизмы полупростых алгебр Ли. (Ф. Брюа) 179

Глава 14. Линейные представления полупростых алгебр Ли. (П. Картье) 189

1. Канонические образующие полупростой алгебры Ли 189

2. Веса линейных представлений 190

3. Представления со старшим вектором 191

4. Неприводимые представления конечной степени 194

Глава 15. Теория характеров полупростых алгебр Ли. (П. Картье) 199

1. Отображение 4 в обертывающей алгебре 199

2. Характеры полу простой алгебры Ли 202

3. О пространстве, дуальном к симметрической алгебре 206

4. Леммы о корнях 209

5. Отступление. Об экспоненциалах 210

6. Характеры конечномерных представлений 213

7. Вычисление характеров полупростой алгебры Ли 217

8. Отображение # в симметрической алгебре над р 220

9. Добавление 222

Глава 16. Характеры компактных групп Ли. (П. Картье) 224

1. Свертка обобщенных функций 224

2. Формулы интегрирования Г. Вейля 226

3. Метод Г. Вейля для нахождения характеров 230

4. Формула Планшереля для полупростых компактных групп 233

Глава 17. Топологическая структура групп Ли. (П. Картье) 238

1. Теория компактных групп 238

2. Теория полупростых групп 248

3. Произвольные группы Ли 254

Глава 18. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа. (П. Картье) 259

1. Вывод формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа 259

2. Сходимость формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа 260

3. Приложение к нильпотентным группам 262

Глава 19. Максимальные торы компактных групп Ли. (Ж.-П. Серр) 265

1. Теорема сопряженности 265

2. Доказательство теоремы сопряженности, принадлежащее А. Вейлю 267

3. Другие доказательства теоремы сопряженности 269

4. Дополнения к теореме 1 271

Глава 20. Коммутативные подгруппы компактных групп Ли. (Ж.-П. Серр) 276

1. Группы типа (МР) 276

2. Автоморфизмы простого порядка алгебры Ли 278

3. Основная теорема 280

4. Приложение теоремы 281

5. Заключительные замечания 283

Приложение. О модулях 285

Литература 292