.А.И.Кострикин, Ю.И.Манин

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

 

Книга посвящена изложению фундаментальных понятий и аппарата линейной алгебры и родственных ей разделов геометрии. От имеющихся курсов линейной алгебры книга отличается большим вниманием к приложениям и связям с другими областями математики: включено обсуждение основных принципов квантовой механики, описана геометрия пространства Минковского, дано введение в линейное программирование. Книга содержит современный математический материал, не излагавшийся в традиционных руководствах: язык категорий и категорные свойства линейных пространств, кэлерова метрика, введение в теорию многочленов Гильберта.

Для студентов механико-математических специальностей высших учебных заведений.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 5

Часть 1. Линейные пространства и  линейные отображения   7

§ 1. Линейные пространства 7

§ 2. Базис и размерность 14

§ 3. Линейные отображения 21

§ 4. Матрицы 27

§ 5. Подпространства и прямые  суммы       38

§ 6. Факторпространства 47

§ 7. Двойственность 51

§ 8. Структура линейного отображения 54

§ 9. Жорданова нормальная форма    61

§ 10. Нормированные линейные  пространства      68

§ 11. Функции линейных операторов  74

§ 12. Комплексификация и овеществление  77

§ 13. Язык категорий 83

§ 14. Категорные свойства линейных пространств 88

 

Часть 2. Геометрия пространств со  скалярным произведением 93

§ 1. О геометрии 93

§ 2. Скалярные произведения 95

§ 3. Теоремы классификации 102

§ 4. Алгоритм ортогонализации и  ортогональные многочлены   110

§ 5. Евклидовы пространства 117

§ 6. Унитарные пространства 126

§ 7. Ортогональные и унитарные  операторы    133

§ 8. Самосопряженные операторы    137

§ 9. Самосопряженные операторы  в квантовой механике  147

§ 10. Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряженных операторов 155

§ 11. Трехмерное евклидово пространство 163

§ 12. Пространство Минковского     171

§ 13. Симплектические пространства 181

§ 14. Теорема Витта и группа Витта 185

§ 15. Алгебры Клиффорда 189

 

Часть 3. Аффинная и проективная  геометрия  193

§ 1. Аффинные пространства, аффинные отображения и аффинные координаты 193

§ 2. Аффинные группы 201

§ 3, Аффинные подпространства      205

§ 4. Выпуклые многогранники и  линейное программирование     212

§ 5. Аффинные квадратичные функции и квадрики 215

§ 6. Проективные пространства        220

§ 7. Проективная двойственность  и проективные квадрики   226

§ 8. Проективные группы и проекции 230

§ 9. Конфигурации Дезарга и Паппа и классическая проективная геометрия 239

§ 10. Кэлерова метрика  243

§11. Алгебраические многообразия и многочлены Гильберта 245

 

Часть 4. Полилинейная алгебра        254

§ 1. Тензорное произведение линейных пространств 254

§ 2. Канонические изоморфизмы и линейные отображения тензорных произведений  259

§ 3. Тензорная алгебра линейного  пространства  264

§ 4. Классические обозначения         266

§ 5. Симметричные тензоры 271

§ 6. Кососимметричные тензоры и внешняя алгебра линейного пространства  275

§ 7. Внешние формы 285

§ 8. Тензорные поля 287

§ 9. Тензорные произведения в  квантовой механике       291

Предметный указатель 297