К.Касселъ
КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
Предисловие редактора перевода XX
Предисловие к русскому изданию XXIII
Предисловие XXV
Обозначения XXVII
Часть I.
Квантовая SL(2) 1
Глава 1. Предварительные сведения 3
1.1. Алгебры и модули 3
1.2. Свободные алгебры 8
1.3. Аффинная прямая и аффинная плоскость 9
1.4. Матричное умножение 12
1.5. Детерминанты и обратимые матрицы 13
1.6. Градуированные алгебры и алгебры с фильтрацией 15
1.7. Расширения Оре 18
1.8. Нётеровы кольца 22
1.9. Упражнения 25
1.10. Замечания 27
Глава 2. Тензорные произведения 29
2.1. Тензорные произведения векторных пространств 29
2.2. Тензорные произведения линейных отображений 33
2.3. Двойственность и следы 37
2.4. Тензорные произведения алгебр 41
2.5. Тензорные и симметрические алгебры 43
2.6. Упражнения 47
2.7. Замечания 49
Глава 3. Язык алгебр Хопфа 50
3.1. Коалгебры 50
3.2. Биалгебры 57
3.3. Алгебры Хопфа 63
3.4. Взаимосвязь с первой главой. Алгебры Хопфа GL(2) и SL(2) 73
3.5. Модули над алгебрами Хопфа 74
3.6. Комодули 78
3.7. Комодульные алгебры. Кодействие SL(2) на аффинной плоскости 82
3.8. Упражнения 86
3.9. Замечания 91
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии 93
4.1. Квантовая плоскость 93
4.2. Многочлены Гаусса и q-биномиальная формула 95
4.3. Алгебра Мq(2) 100
4.4. Теоретико-кольцевые свойства Мq(2) 103
4.5. Структура биалгебры на Мq(2) 106
4.6. Алгебры Хопфа GLq(2) и SLq(2) 107
4.7. Ко действие на квантовой плоскости 110
4.8. *-Алгебры Хопфа 111
4.9. Упражнения 114
4.10. Замечания 116
Глава 5. Алгебра Ли алгебры SL(2) 119
5.1. Алгебры Ли 119
5.2. Обертывающие алгебры 121
5.3. Алгебра Ли sl(2) 127
5.4. Представления sl(2) 129
5.5. Формула Клебша-Гордана 135
5.6. Модульные алгебры над биалгеброй. Действие sl(2) на аффинной плоскости 137
5.7. Двойственность между алгебрами Хопфа U(sl(2)) и SL(2) 140
5.8. Упражнения 150
5.9. Замечания 152
Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры Ли sl(2) 155
6.1. Алгебра Uq(sl(2)) 155
6.2. Связь с обертывающей алгеброй алгебры Ли sl(2) 160
6.3. Представления алгебры Uq 162
6.4. Гомоморфизм Хариш-Чандры и центр Uq 167
6.5. Случай, когда q является корнем из единицы 171
6.6. Упражнения 177
6.7. Замечания 177
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на Uq(sl(2)) 179
7.1. Коумножение 179
7.2. Полупростота 183
7.3. Действие алгебры Uq(sl(2)) на квантовой плоскости 186
7.4. Двойственность между алгебрами Хопфа Uq(sl(2)) и SLq(2) 191
7.5. Двойственность между модулями над Uq(sl(2)) и комодулями над SLq(2) 196
7.6. Скалярные произведения на Uq(sl(2)) -модулях 198
7.7. Квантовая формула Клебша-Гордана 200
7.8. Упражнения 206
7.9. Замечания 207
Часть II.
Универсальные R-матрицы
209
Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры 211
8.1. Уравнение Янга-Бакстера 211
8.2. Сплетенные биалгебры 218
8.3. Как сплетенная биалгебра порождает R-матрицы 224
8.4. Квадрат антипода в сплетенной алгебре Хопфа 226
8.5. Двойственное понятие: косплетенные биалгебры 232
8.6. Конструкция РТФ 237
8.7. Приложения к GLq(2) и SLq(2) 245
8.8. Упражнения 248
8.9. Замечания 250
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда 251
9.1. Бискрещенные произведения групп 251
9.2. Бискрещенные произведения биалгебр 255
9.3. Вариации на тему присоединенного представления 261
9.4. Квантовый дубль Дринфельда 268
9.5. Интерпретация квантового дубля с точки зрения теории 276
представлений
9.6. Применение к случаю Uq(sl(2)) 280
9.7. R-Матрицы для Uq 288
9.8. Упражнения 295
9.9. Замечания 297
Часть III.
Маломерная топология и тензорные категории 299
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы 301
10.1. Узлы и зацепления 302
10.2. О классификации зацеплений с точностью до изотонии 305
10.3. Диаграммы зацеплений 307
10.4. Многочлен Джонса-Конвея 314
10.5. Плетения 320
10.6. Косы 326
10.7. Упражнения 334
10.8. Замечания 336
10.9. Добавление. Фундаментальная группа 339
Глава 11. Тензорные категории 342
11.1. Язык категорий и функторов 342
11.2. Тензорные категории 350
11.3. Примеры тензорных категорий 355
11.4. Тензорные функторы 358
11.5. Превращение тензорных категорий в строгие 360
11.6. Упражнения 364
11.7. Замечания 366
Глава 12. Категория плетений 367
12.1. Представление строгой тензорной категории образующими и 367
соотношениями
12.2. Категория плетений 374
12.3. Категория диаграмм плетений 377
12.4. Представления категории плетений 381
12.5. Завершение доказательства существования многочлена Джонса-
389 Конвея
12.6. Упражнения 392
12.7. Замечания 392
Глава 13. Сплетения 393
13.1. Сплетенные тензорные категории 393
13.2. Категория кос 401
13.3. Универсальность категории кос 404
13.4. Конструкция центра 413
13.5. Категорная интерпретация квантового дубля 417
13.6. Упражнения 422
13.7. Замечания 423
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях 424
14.1. Представление морфизмов в тензорной категории 424
14.2. Двойственность 427
14.3. Ленточные категории 433
14.4. Квантовый след и квантовая размерность 440
14.5. Примеры ленточных категорий 445
14.6. Ленточные алгебры 448
14.7. Упражнения 453
14.8. Замечания 455
Глава 15. Квазибиалгебры 457
15.1. Квазибиалгебры 457
15.2. Сплетенные Квазибиалгебры 461
15.3. Калибровочные преобразования 463
15.4. Представления группы кос 468
15.5. Квазихопфовы алгебры 471
15.6. Упражнения 473
15.7. Замечания 475
Часть IV.
Квантовые группы и монодромия 477
Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах 479
16.1. Кольцо формальных рядов и h-адическая топология 479
16.2. Топологически свободные модули 482
16.3. Топологическое тензорное произведение 486
16.4. Топологические алгебры 488
16.5. Квантовые обертывающие алгебры 492
16.6. Симметризация универсальной R-матрицы 497
16.7. Упражнения 499
16.8. Замечания 500
16.9. Добавление. Обратные пределы 500
Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо 503
17.1. Полупростые алгебры Ли 503
17.2. Алгебры Дринфельда-Джимбо 507
17.3. Инварианты зацеплений, порожденные квантовыми группами 512
17.4. Случай sl(2) 515
17.5. Упражнения 522
17.6. Замечания 523
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости 524
18.1. Когомологии алгебр Ли 524
18.2. Жесткость алгебр Ли 529
18.3. Тривиальность некоторых групп когомологий полупростых алгебр
Ли 534
18.4. Приложения к квантовым обертывающим алгебрам
Дринфельда-Джимбо 537
18.5. Когомологий коалгебр 539
18.6. Действие полупростой алгебры Ли на кобар-комплексе 542
18.7. Вычисления для симметрических коалгебр 544
18.8. Теорема единственности квантовых обертывающих алгебр 553
18.9. Упражнения 557
18.10. Замечания 558
18.11. Добавление. Комплексы и резольвенты 558
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника—Замолодчикова 561
19.1. Связности 561
19.2. Представления группы кос, происходящие из монодромии 564
19.3. Уравнения Книжника-Замолодчикова 568
19.4. Теорема Дринфельда-Коно 573
19.5. Эквивалентность Uh(g) и Ag,t 576
19.6. Ассоциатор Дринфельда 580
19.7. Построение топологической сплетенной квазибиалгебры Ag,t 586
19.8. Проверка аксиом 590
19.9. Упражнения 598
19.10. Замечания 599
19.11. Добавление. Итерированные интегралы 600
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант узлов 605
20.1. Инварианты узлов конечного типа 605
20.2. Хордовые диаграммы и теорема Концевича 608
20.3. Алгебраические структуры на хордовых диаграммах 615
20.4. Инфинитезимально сплетенные категории 619
20.5. Универсальная категория для инфинитезимальных сплетений 623
20.6. Формальное интегрирование инфинитезимально сплетенных
категорий 625
20.7. Построение универсального инварианта Концевича 627
20.8. Извлечение квантовогрупповых инвариантов из инварианта
Концевича 630
20.9. Упражнения 634
20.10. Замечания 634
Цитированная литература 636
Литература, добавленная при переводе 650
Предметный указатель 654