А.Долъд

ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ

Этот курс алгебраической топологии и теории многообразий написан известным ученым и талантливым педагогом. Простота и ясность подачи материала сочетаются с аккуратностью и строгостью доказательств. Большое количество интересных примеров способствует пониманию предмета. Несомненное достоинство книги — элементарное и доступное изложение топологии многообразий. В то же время новый взгляд на некоторые известные понятия делает ее интересной и для специалистов.

Книга рассчитана на широкий круг математиков и вполне пригодна как начальный учебник по алгебраической топологии для студентов и аспирантов университетов и пединститутов.

Содержание

От редактора перевода 5

Предисловие 7

Глава I. Предварительные сведения о категориях, абелевых группах гомотопиях 9

1. Категории и функторы 10

2. Абелевы группы (точность, прямые суммы, свободные абелевы группы) 16

3. Гомотопии 24

Глава II. Гомологии комплексов 27

1. Комплексы 27

2. Связывающий гомоморфизм, точная гомологическая последовательность 30

3. Цепная гомотопия 35

4. Свободные комплексы 39

Глава III. Сингулярные гомологии 42

1. Стандартные симплексы и их линейные отображения 42

2. Сингулярный комплекс 43

3. Сингулярные гомологии 45

4. Специальные случаи 47

5. Гомотопическая инвариантность 51

6. Барицентрическое подразделение 55

7. Малые симплексы. Вырезание 58

8. Последовательности Майера — Вьеториса 62

Глава IV. Применения к евклидову пространству 70

1. Стандартные отображения между клетками и сферами 70

2. Гомологии клеток и сфер 72

3. Локальные гомологии 77

4. Степень отображения 81

5. Локальные степени 85

6. Гомологические свойства окрестностных ретрактов пространства Rⁿ 91

7. Теорема Жор дана, инвариантность области 99

8. Евклидовы окрестностные ретракты (ENR) 101

Глава V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии 109

1. Клеточные пространства 109

2. CW-пространства 113

3. Примеры 122

4. Гомологические свойства CW-пространств 129

5. Характеристика Эйлера — Пуанкаре 132

6. Описание клеточных цепных отображений и клеточного граничного гомоморфизма 135

7. Симплициальные пространства 141

8. Симплициальные гомологии 152

Глава VI. Функторы на категории комплексов 156

1. Модули 156

2. Аддитивные функторы 161

3. Производные функторы 166

4. Формула универсальных коэффициентов 172

5. Тензорное и периодическое умножения 176

6. Функторы Hom и Ехt 184

7. Сингулярные гомологии и когомологии с произвольными коэффициентами 188

8. Тензорное произведение и билинейность 197

9. Тензорное произведение комплексов. Формула Кюннета 203

10. Функтор Hom на категории комплексов. Гомотопическая классификация цепных отображений 208

11. Ацикличные модели 217

12. Теорема Эйленберга — Зильбера. Формула Кюннета для топологических

пространств 222

Глава VII. Умножения 231

1. Скалярное умножение 232

2. Внешнее гомологическое умножение 235

3. Внутреннее гомологическое умножение (умножение Понтрягина) 239

4. Индексы пересечения в Rⁿ 243

5. Алгебраическое число неподвижных точек 249

6. Теорема Лефшеца — Хопфа о неподвижных точках 255

7. Внешнее когомологическое умножение 263

8. Внутреннее гомологическое умножение (È-умножение) 268

9. Вычисление È-умножения для проективных пространств. Отображения Хопфа и инвариант Хопфа 272

10. Алгебры Хопфа 277

11. Косое когомологическое умножение 285

12. Ç-умножение 290

13. Косое гомологическое умножение и косое умножение Понтрягина 299

Глава VIII. Многообразия 301

1. Элементарные свойства многообразий 301

2. Ориентирующий пучок многообразия 306

3. Гомологии в размерностях, не меньших размерности многообразия 316

4. Фундаментальный класс и степень 324

5. Пределы 331

6. Чеховские когомологии локально компактных подмножеств пространства Rⁿ 343

7. Двойственность Пуанкаре — Лефшеца 357

8. Примеры и приложения 364

9. Двойственность в многообразиях с краем 371

10. Трансфер 377

11. Класс Тома, изоморфизм Тома 385

12. Последовательность Гизина. Примеры 399

13. Пересечение гомологических классов 412

Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов 427

Д.1. Пределы функторов 427

Д.2. Полиэдры, подчиненные топологическому пространству, 432

Д.З. Распространение функторов с полиэдров на более общие пространства 443

Список литературы 452

Указатель терминов 456