Предисловие 6
Глава I. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 9
§ 1. Вероятность в классической схеме. Классическая вероятность и элементы комбинаторики
(1.1—1.10). Симметричное случайное блуждание (1.11—1.19). Урновая модель (1.20—1.30)
9
§ 2. Вероятностное пространство, случайные величины, распределение вероятностей.
События и вероятностная мера (2.1—2.4). Испытания Бернулли (2.5, 2.6). Разбиения,
случайные величины в схеме Бернулли (2.7—2.14). Случайные величины в схеме бесконечной
последовательности испытаний Бернулли (2.15—2.18). Задача о разорении игрока
(2.19, 2.20) 25
§ 3. Непрерывные вероятностные модели. Случайные величины в схеме случайного
выбора точек из отрезка, функции распределений, плотности (3.1—3.10). Пуассоновский
процесс и предельная схема Пуассона (3.11—3.15). Распределение арксинуса в симметричном
блуждании (3.16). Формула Стирлинга и нормальное распределение в схеме симметричного
блуждания (3.17—3.21). Многомерные распределения (3.22—3.27) 42
§ 4. Независимость. Независимые дискретные случайные величины, распределение
суммы, производящие функции (4.1—4.11). Независимые события (4.12—4.14). Независимые
непрерывные случайные величины (4.15—4.22). Пуассоновский процесс и экспоненциальное
распределение (4.23—4.26). Броуновское движение (4.27) 66
§ 5. Условная вероятность. Условные распределения дискретных случайных величин
(5.1—5.10). Марковские цепи (5.11—5.16). Условные плотности (5.17, 5.18). Mapковские
цепи с непрерывным множеством состояний (5.19, 5.20) 86
§ 6. Пространство и мера Алгебра множеств, мера и ее свойства (6.1—6.7). Расширение
алгебры множеств, внешняя мера, измеримые множества, теорема о существовании
и единственности продолжения меры (6.8—6.18). Мера Лебега (6.19). Меры на прямой
и функции распределения . (6.20—6.23). Мера на плоскости (6.24, 6.25). Последовательности
испытаний (6.26—6.29). Монотонные классы (6.30—6.37) 101
Глава II. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 128
§ 7. Математическое ожидание. Математическое ожидание дискретных случайных величин
(7.1—7.16). Математическое ожидание в общем случае: определение, свойства, вычисление
(7.17—7.34) 128
§ 8. Дисперсия, ковариация, среднеквадратическое расстояние. Неравенство Чебышева,
дисперсия, закон больших чисел в схеме Бернулли (8.1—8.10). Приближение непрерывных
функций (8.11, 8.12). Вычисление и свойства дисперсии (8.13—8.16). Ковариация
(8.17—8.21). Среднеквадратическое расстояние (8.22). Дисперсия суммы (8.23,
8.24). Закон больших чисел в форме Чебышева (8.25). Дисперсия как мера качества
статистической оценки (8.26, 8.27). Матрица ковариаций (8.28—8.35). Линейные
оценки с минимальной дисперсией (8.36) 143
§ 9. Условное математическое ожидание. Определение (9.1—9.3). Оптимальная нелинейная
оценка (9.4). Вычисление и свойства условного ожидания в дискретном случае (9.5—9.12).
Свойства в непрерывном случае (9.13—9.17). Многомерное нормальное распределение
(9.18). Несмещенное оценивание и достаточные статистики (9.19—9.22). Мартингалы
(9.23). Ветвящийся процесс (9.24) 158
§ 10. Измеримые функции и интеграл. Интеграл Лебега от простых функций (10.1—10.12).
Интеграл Лебега и его свойства (10.13—10.28). Интегралы Римана, Лебега, Римана—Стильтьеса,
Лебега—Стильтьеса (10.29, 10.30). Интеграл на произведении пространств (10.31—10.35).
Меры и плотности (10.36—10.40). Марковские процессы (10.41) 174
Глава III. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 199
§ 11. Простое симметричное блуждание. Времена достижения и возвращения (11.1—11.6).
Предельные теоремы для времен достижения и возвращения (11.7, 11.8). Ветвящийся
процесс (11.9). Условное блуждание и броуновский мост, предельные теоремы (11.10—11.18,
11.21). Гауссовские процессы (11.19, 11.20). Броуновская экскурсия (11.22) 199
§ 12. Схема Бернулли и простое блуждание. Нормальное приближение и большие уклонения
для биномиального распределения (12.1—12.4). Нормальное приближение для пуассоновското,
отрицательного биномиального и гамма распределений (12.5—12.7). Эмпирическая
функция распределения, статистики Колмогорова—Смирнова (12.8—12.10). Сходимость
с вероятностью 1, усиленный закон больших чисел, леммы Бореля—Кантелли (12.11—12.14).
Времена достижения (12.15). Предельные теоремы для простого блуждания (12.16—12.20).
Среднее и дисперсия времени достижения (12.21). Условная предельная теорема
(12.22) 223
§ 13. Сходимость распределений, преобразование Лапласа и характеристические
функции. Сходимость случайных величин и распределений (13.1—13.10). Асимптотическая
нормальность выборочных квантилей (13.11). Сходимость производящих функций (13.12—13.14).
Интеграл Римана—Стильтьеса, преобразование Лапласа, формула обращения, теорема
непрерывности, моменты (13.15—13.30, 13,33). Применение преобразования Лапласа
(13.31, 13.32, 13.34, 13.35). Характеристические функции (13.36—13.42). Закон
больших чисел в форме Хинчина (13.43). Центральная предельная теорема (13.44—13.53).
Приближение непрерывной функции тригонометрическими полиномами (1354) Формула
обращения для целочисленных величин (13.55) 247
§ 14. Марковские модели. Неоднородное простое блуждание (14.1—14.9). Процесс
Гальтона—Ватсона (14.10—14.24). Условный ветвящийся процесс (14.25—14.29). Ветвящийся
процесс с параметром \mu>1 (14.30—14.34) Процессы с иммиграцией (14.35-14.37).
Ветвящийся процесс в случайной среде (14.38). Дискретные процессы восстановления
и марковские цепи (14.39—14.48) 277
Литература 342
Список обозначений и сокращений 343