Cодержание
Предисловие к шестому изданию 7
Из предисловия ко второму изданию 9
Из предисловия к первому изданию 9
Введение 11
Глава 1. Случайные события и их вероятности 16
§ 1. Интуитивные представления о случайных событиях 16
§ 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 20
§ 3. Примеры 29
§ 4. Геометрические вероятности 38
§ 5. О статистической оценке неизвестной вероятности 45
§ 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей 49
§ 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы 54
§ 8. Примеры 62
Упражнения. 69
Глава 2. Последовательность независимых испытаний 72
§ 9. Вводные замечания 72
§ 10. Локальная предельная теорема 77
§ 11. Интегральная предельная теорема 85
§ 12. Применения интегральной теоремы Муавра—Лапласа 92
§ 13. Теорема Пуассона 97
§ 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний 103
Упражнения. 106
Глава 3. Цепи Маркова. 109
§ 15. Определение цепи Маркова 109
§ 16. Матрица перехода 110
§ 17. Теорема о предельных вероятностях 112
Упражнения. 115
Глава 4. Случайные величины и функции распределения. 116
§ 18. Основные свойства функций распределения 116
§ 19. Непрерывные и дискретные распределения 123
§ 20. Многомерные функции распределения 127
§ 21. Функции от случайных величин 135
§ 22. Интеграл Стилтьеса 148
Упражнения. 153
Глава 5. Числовые характеристики случайных величин. 158
§ 23. Математическое ожидание 158
§ 24. Дисперсия 164
§ 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии 169
§ 26. Моменты 175
Упражнения. 180
Глава 6. Закон больших чисел. 184
§ 27. Массовые явления и закон больших чисел 184
§ 28. Закон больших чисел в форме Чебышева 187
§ 29. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел 191
§ 30. Усиленный закон больших чисел 195
§ 31. Теорема В.И. Гливенко 201
Упражнения. 207
Глава 7. Характеристические функции. 209
§ 32. Определение и простейшие свойства характеристических 209
§ 33. Формула обращения и теорема единственности 214
§ 34. Теоремы Хелли 219
§ 35. Предельные теоремы для характеристических функций 224
§ 36. Положительно определенные функции 228
§ 37. Характеристические функции многомерных случайных 234
§ 38. Преобразование Лапласа - Стилтьеса 238
Упражнения. 244
Глава 8. Классическая предельная теорема 248
§ 39. Постановка задачи 248
§ 40. Теорема Линдеберга 251
§ 41. Локальная предельная теорема 257
Упражнения. 263
Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения 264
§ 42. Безгранично делимые законы и их основные свойства 265
§ 43. Каноническое представление безгранично делимых законов 267
§ 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов 272
§ 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм 276
§ 46. Предельные теоремы для сумм 277
§ 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона 280
§ 48. Суммирование независимых случайных величин в случайном числе 283
Упражнения. 288
Глава 10. Теория стохастических процессов 290
§ 49. Вводные замечания 290
§ 50. Процесс Пуассона 294
§ 51. Процессы гибели и размножения 300
§ 52. Условные функции распределения и формула Байеса 312
§ 53. Обобщенное уравнение Маркова 316
§ 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова 317
§ 55. Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова - Феллера 326
§ 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями 333
§ 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о корреляционной
функции 338
§ 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных
процессов 344
§ 59. Эргодическая теорема Биркгофа - Хинчина 348
Глава 11. Элементы статистики 353
§ 60. Основные задачи математической статистики 353
§ 61. Классический метод определения параметров распределения 357
§ 62. Исчерпывающие статистики 367
§ 63. Доверительные границы и доверительные вероятности 369
§ 64. Проверка статистических гипотез 377
Дополнение. Очерк истории теории вероятностей 386
Глава 1. Предыстория понятия вероятности и случайного события 386
§ 1. Первые данные 386
§ 2. Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья 388
§ 3. Исследования Галилео Галилея 390
§ 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории 393
§ 5. Работа X. Гюйгенса 397
§ 6. О первых исследованиях по демографии 400
Глава 2. Период формирования основ теории вероятностей 402
§ 7. Возникновение классического определения вероятности 402
§ 8. О формировании понятия геометрической вероятности 405
§ 9. Основные теоремы теории вероятностей 409
§ 10. Задача о разорении игрока 412
§ 11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей 413
§ 12. Контроль качества продукции 415
Глава 3. К истории формирования понятия случайной величины 418
§ 13. Развитие теории ошибок наблюдений 418
§ 14. Формирование понятия случайной величины 420
§ 15. Закон больших чисел 423
§ 16. Центральная предельная теорема 425
§ 17. Общие предельные распределения для сумм 429
§ 18. Закон повторного логарифма 432
§ 19. Формирование понятий математического ожидания и 434
Глава 4. К истории теории случайных процессов. 436
§ 20. Общие представления 436
Список литературы 447